【关键词】nurbs方法 算法 曲面构造 外形设计
计算机辅助几何设计(cagd)的核心问题是几何形状的数学描述,非均匀有理b样条(nurbs)方法在保留了贝齐尔方法、b样条方法的基础上,引入了权因子与分母,看似简单,却导致了摄影变换、几何原理与算法、权因子的意义与作用、权因子与参数化等一系列概念和性质。nurbs方法解决了自由曲线曲面与初等解析曲线曲面不相容问题,而且能够在一个系统内严格的以统一数学模型定义几何形状,提高了造型能力;所以,尽管nurbs方法仍在发展中,它给实际应用带来了很大的灵活性,在cad/cam系统中将成为十分有效的工具。国际标准化组织(iso)继美国的pdes标准之后,于1991年颁布了关于工业产品数据交换的step国际标准,把nurbs方法作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。根据nurbs方法对外形设计的适应性的特点,改变参数:即把每个有理b样条基函数的最大值处的参数值定义为相伴数据点处的参数值,建立用于曲面几何造型的系统,最后给出在实际设计中的运用。
一、主要理论内容及相关知识
曲线插值拟合
在几何造型过程中,需要对模型进行测量,然后根据这些型值点插值拟合曲线。对于给定的型值点qj(j=0,1,…,n)构造k次nurbs插值曲线,通常节点序列采用累计弦长的方法。端节点取k+1重节点,将节点序列带入方程中,得到插值线性方程组:其中含有n个方程,n+2个未知的控制顶点,故需要补充两个通常有边界条件给定的附加条件。
曲面的插值拟合
同样采用曲线的插值方法进行曲面的拟合。设型值点qj及权因子ωi,j,利用类似于曲面生成的节点序列的确定方法分两步进行,第一步用单参数曲线插值m行型值点,得到中间顶点{pi,j}(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n+1);第二步,在令一个参数方向插值n+2列中间顶点{p i,j}(i=0,1,…m+1,j=0,1,…+1),从而得到插值曲面的控制顶点网格,故可以生成插值曲面。
二、关键问题与探索点
众所周知,定义参数值的常用方法:有理法、弦长法、向心法。在参数曲线插值中,对一系列数据点的参数值的选择使得插值结果中曲线的形状有很大的不同。尽管在这个领域中人们已作了大量的研究工作,但是在自动化、工业中对设计复杂的曲线改进参数还是极有必要的。一种新的参数法的构思:把每个有理b样条基函数的最大值处的参数值定义为相伴数据点处的参数值。其理论依据是:如果一个带状矩阵有主对角元素,可以得到带有主对角元素的逆矩阵。通过取基函数的最大值处的参数值作为数据点的参数值,我们得到一个含有主对角元素的r维带状矩阵。这可以得到更好的曲线插值。
1.反算nurbs曲线控制顶点的算法
在nurbs曲线插值拟合中对于边界条件不易给出确定的情况,将根据实际情况利用矩阵表达式,若能巧妙选取曲线上的型值点数据,则不需要添加边界条件却能反求nurbs插值曲线控制点。如根据二次nurbs曲线矩阵表达式,对于任意曲线上的2n+1个型值点,给出利用这些型值数据点,反算二次非均匀有理b样条曲线控制顶点的算法。试把这种算法推广至高次,对于不易给出曲线边界条件(如切矢条件)这种类型的插值,它不仅可以通过权因子而达到拟合曲线的目的,而且可以采用其他方法来求型值点所对应的参数值,即通过参数拟合曲线具有很大的灵活性。
2.生成曲面或拟合曲面进行处理
在外形设计中,常常需要对生成曲面或拟合曲面进行处理,重点是曲面求交,求交过程是一个反复分割、判断过程。目标是经过数次分割,小区面符合给定的精度,可以代表平面,平面交线代替曲面交线;然后,经过交点排序消去多余交点,在进行插值拟合即可得到交线。
3.过渡面的生成处理
另外,过渡面的生成也是处理问题的重要一方面,过渡面与相邻曲面之间应该至少保持c1连续,因此想通过一下两种方法构造过渡面。
(1)讨论两张相交曲面或求得两曲面交线的曲面之间生成过渡面,设两曲面l1l2,交线l,则分别求得ab上的等参数l1l2,由此三条曲线生成与相邻曲面有c1连续性的过渡面,其圆弧曲率大小可以通过调整权因子控制。
(2)两张曲面不相交,且无需求交线的情况,可以在求得两曲面边界等参数的基础上,补充控制顶点或者型值点,拟合出具有c1阶连续的过渡面,同样可以调整权因子控制过渡面的形状以适应造型需要。
三、算法实例
按照上述各功能的算法,可运用于nurbs车身外表面设计中。下面给出设计的整体思路和布局。
参考文献:
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[2]易大义,沈云宝,李有法.计算方法[m].浙江大学出版社.
[3]程少华.用二次nurbs作曲线插值[j].河南科学.
[4]秦开怀,孙家广,范刚.三次nurbs曲线的插值方法[j].计算机辅助设计与图形学学报.
[5]苏步青,刘鼎元.计算几何.上海:上海科学技术出版社,1981.
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