简要介绍数理逻辑的发展史,探讨数理逻辑在现代数学的解决、论证数学命题过程中的运用,以及学习这门课程的必要性。
逻辑是研究推理的科学,分为形式逻辑和辨证逻辑。数理逻辑学开始于用数学方法对形式逻辑中推理规律的研究,后来进一步发展到对数学中基础性问题及逻辑性问题的研究。现在数理逻辑是用数学方法研究形式逻辑的一门科学,也就是用数学方法研究推理的科学。所谓数学方法[1],主要是指引进一套符号体系的方法,因此数理逻辑又叫符号逻辑。现代数理逻辑主要有四大分支:证明论、模型论、递归论和公理集合论,其中命题演算和谓词演算(即一般的所谓古典数理逻辑)是各个分支的共同基础。
命题是形式逻辑中的基本术语,也是数学中最基本的元素。一个命题是一个或真或假而不能两者都是的断言,也就是说,命题是一个非真即假的陈述句。由此我们可以看出一个命题具有两种可能的取值:如果命题是真,我们说它的真值为真,通常用T(True)表示;反之,用F(False)表示真值为假的命题。在计算机语言中则是分别用1和0来表示一个命题真值的真假。像这样只有两种取值的命题逻辑称为二值逻辑。命题的真值与所讨论问题的范围有关,不能一概而论的说某个命题一定是真或一定是假。在所有断言中有叫悖论的断言值得一提。
数学命题包括简单命题(亦称原子命题,)和复合命题。前者是只用一种判断性谓语动词叙述某事物的属性、发展趋势、变化方式等状态的语句或数学表达式。把一个或几个简单命题用联结词(与、或、非等)联结所构的新的命题,就是复合命题。基本的逻辑联结词有:⑴表示“非P”含义的否定词 ;⑵有“与”、“并且”含义的合取词∧;⑶表达“或者”、“也许…也许…”含义的析取词∨;⑷表达“如果…那么…”因果关系含义的蕴涵词→。所有的命题被翻译成复合命题后,根据真值表来判断命题真值的真或假。
数理逻辑学在数学理论研究中也有到很多的应用,并不只是单单在离散数学中或普通命
题演算中显示其作用。逻辑演算理论是一种有效的工具,如果熟练地掌握了逻辑演算的方法和技巧,就为进一步了解和掌握诸如归结原理、逻辑程序设计和定理自动证明等奠定了基础。
尤其是前面提到的数理逻辑的四个分支,都是现在数学理论研究的重要工具。比方说,递归论应用于数学中不少判定问题的解决(著名的如群论字问题的否定解决,Hilbert第十问题的否定解决);模型论应用与不少代数及分析数学问题的证明;公理集合论应用于不少数学问题独立性的证明。
数理逻辑学的任务在于探讨如何为整个数学建立严格的逻辑基础,其特点在于使用形式
化的方法包括公理化的方法,因而比较抽象和艰深,这种抽象化的方法除了在建立数学的基础方面已经取得很大成功而外,还在计算机科学上有重要的应用。人工智能又称机器智能,是计算机科学中一门新兴的边缘学科,它采用人工技术和方法,研制智能机器或者智能系统以模仿、延伸和扩展人的智能,实现智能行为、赋予机器模拟人处理问题的能力。
自17世纪德国数学家和哲学家Leibniz开创数理逻辑这门学科,至今,由于它采用数学符号化的方法,给出推理规则,建立推理体系,进而讨论推理体系的一致性、可靠性和完备性,在现代的数学和计算机科学以及在自然科学和社会科学的一些研究中,数理逻辑都有着广泛的应用。而在现在的大学教育中数理逻辑却没有得到其应有的重视,忽略了这门学科不仅提供了一种新的数学命题的论证途径,更重要的是在培养科学、严谨的思维能力方面更有其独到之处。在很多代数、集合论方面通常只给出了某些定理,但定理的证明运用本方向的知识却没法得到证明,只有依据了数理逻辑学方面的知识才得到理论上的支持,从而肯定其定理的正确性。
作者：蔡雷敏 来源：教育前沿·理论版 2008年3期
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