1 问题提出
策略是指向认知目标的一种心理操作，主体通过使用策略可以达到解决问题的目的。为了更好解释个体如何运用不同策略来完成认知加工，Lemaire和Siegler(1995)提出了用于描述认知策略运用状况的解释框架：(1)策略库——个体完成某种特定任务时所使用的策略总和；(2)策略分布——策略库中每种策略分别被选择使用的次数或频率；(3)策略执行——每种策略被使用时的速度和准确性，体现不同策略本身的相对优势；(4)策略选择——个体如何决定哪一种策略用于哪个问题以及个体如何根据问题特征来调整其策略运用。数学认知领域的研究者认为，个体在算术认知加工过程中的策略运用效率体现了其数字加工认知功能的灵活性。研究已证实，个体(即便是儿童)在不同算术认知任务中都倾向于同时采用多种不同策略(Lemaire & Callies，2009；陈亚林，刘昌，陈杜鹃，2010)，且随着年龄增长，儿童越来越多地使用更为高效、与问题相适应的策略，执行效率也越来越高。这种现象发生在包括算术在内的多种认知领域(Lemaire & Lecacheur，2011)。
数学焦虑是影响算术策略运用的重要个体差异因素之一(Imbo & Vandierendonck，2007)。它是指个体在处理数字、使用数学概念、学习数学知识、解决数学问题或参加数学考试时所产生的不安、紧张、畏惧等焦虑状态，是一种消极的负性情绪(陈英和，耿柳娜，2005)。近年来关于数学焦虑与心算关系的研究已揭示心算加工会受到数学焦虑的影响，数学焦虑与心算问题难度有关，随着问题难度的增加，数学焦虑的效应越来越显著：高焦虑成人在完成复杂算术任务时表现更差(Ashcraft & Kirk，2001)，但在简单算术任务上焦虑的影响不明显(Seyler，Kirk，& Ashcraft，2003)。此外，研究者还探讨了数学焦虑对算术认知加工过程中策略运用阶段的影响，发现心算的编码、答案的提取、评价、决策以及策略选择等过程都受到数学焦虑的影响(王翠艳，刘昌，2007)。如Ashcraft和Faust(1994)考察数学焦虑与心算策略选择的关系时发现，高焦虑者完成证实任务时并没有选择经济的自终止策略，反映出高焦虑者在完成复杂的心算任务时策略使用的不灵活性。Imbo和Vandierendonck(2007)对小学4～6年级儿童的研究发现，高数学焦虑儿童较少使用提取策略解决简单加法题。我国学者也在这方面做了一些探索，发现小学1-3年级儿童对加减法认知策略的选择和执行已开始受到数学焦虑的影响，且随着年级增长，数学焦虑对策略选择的影响越来越显著(耿柳娜，陈英和，2005)。虽然目前关于数学焦虑影响算术策略的研究还较少，但可以初步认为，儿童和成人的算术策略运用确实会受到数学焦虑的影响。
上述关于数学焦虑影响算术表现的研究大多采用心算任务。算术领域中策略运用的有关研究也多采用心算任务，采用估算任务的研究还很少(Lemaire，Arnaud，& Lecacheur，2004；Imbo，Duverne，& Lemaire，2007；Lemaire & Lecacheur，2010；司继伟，2002)。估算和心算之间关系密切，二者涉及一些共同的心理加工活动，但二者并非同一种心理现象，有些估算形式能力的高低不依赖于高水平的心算熟练性，且二者的生理基础不同(司继伟，2002)。目前关于数学焦虑影响估算的研究还很少(司继伟，徐艳丽，刘效贞，2011)，且未涉及策略运用。那么，数学焦虑是否会影响估算中的策略运用，它在估算策略运用中究竟起怎样的作用？这是本研究拟探讨的问题，澄清这些问题将有助于进一步了解人类的算术加工活动。
除情绪因素会影响策略运用，众多研究已证实算术技能也会对策略运用产生影响。有研究发现高技能个体(儿童和成人)解题速度快，错误少(Imbo，2007)。经常使用提取策略且能快速执行策略的个体(儿童和成人)在算术技能测验中的表现更好(Imbo & Vandierendonck，2007)。Dowker(1997)研究发现，估算的熟练程度及策略水平会随算术技能的发展而提高。鉴于算术技能与算术表现及策略运用存在关联，所以本研究拟在控制算术技能水平的情况下探讨数学焦虑对估算策略运用的影响。考虑到我国小学儿童从四年级开始正式接触估算且此时能熟练掌握两位数乘法，我们选取四年级儿童为被试，以考察数学焦虑在个体估算发展的早期阶段有何影响，并与认知能力渐趋成熟的大学生的表现作比较，探讨数学焦虑对估算策略运用的影响是否存在年龄相关差异。根据以往研究，假定：(1)在估算中，不同数学焦虑水平个体的策略运用存在差异。(2)数学焦虑对成人和儿童策略运用的影响不同，儿童受数学焦虑的影响更大。
2 研究方法
2.1 被试
成人被试为某市三所高校184名大一学生，平均年龄19.4岁。儿童被试为某市两所小学110名四年级学生，平均年龄9.7岁。首先进行算术技能团体测试，剔除得分低于平均数两个标准差的极端值(四年级4名，得分为17，17，14，13)，我们认为这些被试无法完成实验任务，其余被试进行数学焦虑的团体测试。将焦虑得分从高到低排列，前20%为高焦虑组，后20%为低焦虑组(Ashcraft & Ridley，2005)。最终选取66名大学生和40名四年级儿童进行估算测验。根据测验情况，剔除无效数据后最终的有效被试为成人60名(高焦虑29名，低焦虑31名)，儿童35名(高焦虑19名，低焦虑16名)。数学焦虑和算术技能分数见表1。
2.2 实验设计
采用2(年龄组：成人、儿童)×2(数学焦虑水平：高焦虑、低焦虑)×4(实验条件：自由选择C1、最佳选择C2、无选/上调C3、无选/下调C4)混合实验设计。实验条件为被试内变量，其余为被试间变量。C1、C2为有选条件，C3、C4为无选条件。记录被试的反应时、正确率和所用的策略类型。本文对正确性的定义如下：在自由选择和最佳选择条件中，对于某个题目，如果被试选择的策略得到的估算值最接近正确答案，那么就记录为正确；如果在无选/上调条件中使用上调策略，在无选/下调条件中使用下调策略，那么就记录为正确。每个条件都计算一个正确率，C1和C2的正确率称为有选条件的正确率，即策略选择的正确率，C3和C4的正确率称为无选条件的正确率，即策略执行的正确率。对被试所用的策略类型是这样判断的：如果被试的答案等于使用上调策略得到的估算值，那么就判定其使用了上调策略；如果被试的答案等于使用下调策略得到的估算值，那么就判定其使用了下调策略；其它情况判定为计算错误。计算错误的题目不进行删除。如果某种条件下的计算错误率高于20%，那么该被试为无效被试，进行剔除。
2.3 研究工具和材料
2.3.1 算术技能鉴别测验
采用The French Kit(French，Ekstrom，& Price，1963)，用来测量在多位数问题上快速和准确的执行策略的能力，及算术流畅性和工作记忆管理(如进位或借位；Imbo，2007)。测验的前两部分是复杂加法题，后两部分是复杂减法题和乘法题。每部分包含60道题且限定2分钟。四部分正确作答的题目数量相加得到总分。总分越高说明算术技能水平越高。
2.3.2 成人数学焦虑量表
采用刘效贞2009年修订的《修订数学焦虑量表》，共21题，采用5点计分，“没有焦虑”得1分，“有点焦虑”得2分，“一般焦虑”得3分，“比较焦虑”得4分，“非常焦虑”得5分。量表具有良好的结构效度和内部一致性信度，总体α系数为0.932。在本研究中总体α系数为0.928。要求被试在最符合自己的选项上画圈。得分越高说明数学焦虑水平越高。
2.3.3 儿童数学焦虑量表
采用耿柳娜、陈英和2005年修订的《儿童数学焦虑量表》，共22题，采用4点计分，“完全不焦虑”得1分，“有点焦虑”得2分，“很焦虑”得3分，“极度焦虑”得4分。量表具有良好的结构效度和内部一致性信度，α系数在0.87～0.92之间。在本研究中总体α系数为0.920。要求被试在最符合自己的选项上画圈。得分越高说明数学焦虑水平越高。
2.3.4 乘法估算材料
60道两位数乘法题，以a×b的形式水平方向呈现。较大的数一半在左，一半在右。个位数较大的数一半在左，一半在右。并控制了下列因素：(1)乘数的个位数不能为0或5；(2)两个乘数相同数位上的数字不能重复(如32×72)；(3)同一个乘数内不能有重复数字(如33×58)；(4)两个乘数不能交换顺序后再用(如，若已使用了47×58，那么58×47就不能再用)。其中30道为混合题型(一个乘数的个位数字小于5，另一个乘数的个位数字大于5，如53×48。其中15道为使用下调策略最佳，15道为使用上调策略最佳)；15道为下调题型(两个乘数的个位数字均小于5，如41×52，使用下调策略最佳)；15道为上调题型(两个乘数的个位数字均大于5，如47×58，使用上调策略最佳)。
2.4 实验程序
采用E-prime软件编写的实验程序随机呈现题目并记录被试每道题的答案和反应时。实验开始前先给被试解释要用到的两种估算策略：上调策略是将两个乘数同时向上调整为与其最接近的整十数，例如将43×56调整为50×60，结果为3000；下调策略是将两个乘数同时向下调整为与其最接近的整十数，例如将43×56调整为40×50，结果为2000。强调不能使用其它策略。采用选择/无选法研究范式，以消除选择效应的影响。包括四种条件：自由选择(C1)——每道题都可以从两种策略中自由选择一种；最佳选择(C2)——每道题都要从两种策略中选择一种，使估算结果最接近正确答案；无选/上调(C3)——所有的题都必须使用上调策略；无选/下调(C4)——所有的题都必须使用下调策略。按照C1→C2→C3→C4的顺序进行测验，每个条件有60道题。
每种实验条件下的实验流程均为：呈现指导语，被试理解要求后进入练习，电脑屏幕上将出现一系列题目。被试需根据实验条件的要求进行估算，并用数字键输入答案，完成一道题后按“Enter”键进入下一道。5道练习题后，按“Y”键可返回继续练习，按“N”键进入正式实验。确定被试已完全掌握两种策略后再进入正式实验。强调要按照实验条件的要求尽快作答。
实验流程图如下：
图1 实验流程图
2.5 数据处理
数据采用SPSS17.0和Excel 2003进行分析。
3 结果分析
3.1 成人与儿童策略分布的比较
有选条件(C1、C2)下的策略分布情况见表2。
以算术技能为协变量，对有选条件中使用上调策略的百分比进行2(年龄组)×2(数学焦虑水平)×2(有选条件)重复测量方差分析。结果显示：有选条件主效应不显著，F＜1。年龄组主效应显著，F(1，90)=4.59，p=0.035，与儿童相比，成人较多使用上调策略(41.62% vs. 29.17%)。数学焦虑水平主效应显著，F(1，90)=9.16，p=0.003，高焦虑组较少使用上调策略(31.67% vs. 42.51%)。年龄组与数学焦虑水平交互作用显著，F(1，90)=4.53，p=0.036，使用上调策略的百分比从高到低依次为：低焦虑成人(43.34%)、低焦虑儿童(40.90%)、高焦虑成人(39.78%)、高焦虑儿童(19.30%)。简单效应分析表明，对于成人，数学焦虑效应不显著，F(1，58)=1.10，p=0.298，对于儿童，数学焦虑效应显著，F(1，33)=5.00，p=0.032。高焦虑成人和高焦虑儿童之间差异显著，F(1，46)=19.81，p＜0.001，低焦虑成人和低焦虑儿童之间无显著差异，F＜1。这说明数学焦虑影响儿童的策略分布，但不影响成人；对于高焦虑个体存在年龄效应，与高焦虑儿童相比，高焦虑成人较多使用上调策略。
3.2 成人与儿童策略执行的比较
C3和C4的反应时和正确率分别反映了上调策略和下调策略的执行特点。无选条件(C3、C4)下的表现即为策略执行方面的表现。表3列出了无选条件下的反应时和正确率，即策略执行的反应时和正确率。以算术技能为协变量，对无选条件的反应时和正确率分别进行2(年龄组)×2(数学焦虑水平)×2(无选条件)重复测量方差分析。结果显示：
(1)反应时：无选条件主效应显著，F(1，90)=24.09，p＜0.001，上调策略花费时间更长(5527.05ms vs. 3497.99 ms)。年龄组主效应显著，F(1，90)=7.04，p=0.009，成人的反应时更短(3576.43 ms vs. 6117.24 ms)。数学焦虑水平主效应不显著，F(1，90)=2.96，p=0.089，表明数学焦虑对策略执行速度的影响不明显。
(2)正确率：年龄组主效应显著，F(1，90)=5.05，p=0.027，成人正确率更高(99.39% vs. 91.70%)。数学焦虑水平主效应显著，F(1，90)=4.49，p=0.037，高焦虑组正确率较低(95.27% vs. 97.87%)。年龄组与数学焦虑水平交互作用显著，F(1，90)=6.27，p=0.014，策略执行正确率从高到低依次为：高焦虑成人(99.53%)、低焦虑成人(99.27%)、低焦虑儿童(95.16%)、高焦虑儿童(88.78%)，简单效应分析表明，对于成人，数学焦虑效应不显著，F(1，58)=1.25，p=0.268，对于儿童，数学焦虑效应边缘显著，F(1，33)=3.47，p=0.072。高焦虑成人和高焦虑儿童之间差异显著，F(1，46)=24.66，p＜0.001，低焦虑成人和低焦虑儿童之间的差异也显著，F(1，45)=8.54，p=0.005。这说明数学焦虑影响儿童策略执行的正确率，但不影响成人；无论数学焦虑是哪种水平，成人的正确率都高于儿童。
3.3 成人与儿童策略选择的比较
有选条件下的表现即为策略选择方面的表现。表4列出了有选条件下的反应时和正确率，即策略选择的反应时和正确率。以算术技能为协变量，对有选条件的反应时和正确率分别进行2(年龄组)×2(数学焦虑水平)×2(有选条件)重复测量方差分析。结果显示：
(1)反应时：各主效应及交互作用均不显著。
(2)正确率：有选条件主效应显著，F(1，90)=8.26，p=0.005，最佳选择条件的正确率(72.60%)高于自由选择条件的正确率(59.08%)。年龄组主效应显著，F(1，90)=48.44，p＜0.001，成人的正确率更高(75.05% vs. 50.05%)。数学焦虑水平主效应显著，F(1，90)=7.19，p=0.009，高焦虑组正确率较低(62.45% vs. 69.30%)。有选条件、年龄组与数学焦虑的三重交互作用显著，F(1，90)=7.83，p=0.006，对于成人，在C1中低焦虑组的正确率较高(F(1，92)=4.08，p=0.046)，但在C2中两组的正确率无显著差异(F＜1)；对于儿童，在C1中高低焦虑组的正确率无显著差异(F＜1)，但在C2中低焦虑组的正确率较高(F(1，92)=5.94，p=0.017)。另外，在C1和C2中均为高焦虑成人的正确率显著高于高焦虑儿童(C1：F(1，92)=15.64，p＜0.001；C2：F(1，92)=77.02，p＜0.001)。
对于某个问题，如果被试所使用的策略得到的估计值最接近正确答案，那么他在这个问题上的策略选择是适应的，反之则是不适应的(Lemaire，Arnaud，& Lecacheur，2004)。由上面的分析可以看出，在自由选择条件中，低焦虑成人策略选择的适应性较好；在最佳选择条件中，高低焦虑成人策略选择的正确率均较高且无差异，说明其策略选择的适应性均较好。两组儿童在自由选择条件中正确率均较低，但在强调速度和正确性的最佳选择条件中，在反应时无差异的情况下，低焦虑儿童的正确率较高，说明其策略选择更具适应性。
4 分析与讨论
4.1 成人和儿童在估算中的策略运用
被试在解决算术题时会使用多种策略，对于本研究的乘法估算任务，可使用的策略也有多种，但考虑到追求策略的全面性可能会因为选择/无选法中无选条件过多而使被试疲劳且难以操纵，我们选用了两种以往研究经常使用的估算策略(Lemaire，Arnaud，& Lecacheur，2004)：上调策略和下调策略。这两种策略包含了共同的认知加工过程(如，编码、取整、取整后计算乘积)，此外上调策略还包含额外的加工过程，如给十位数字加1及在工作记忆中储存和操作中间结果，而下调策略中只需计算出两个十位数字的乘积即可，且需计算的数字较小，所以下调策略执行起来更快。Imbo等人(2007)及Lemaire等人(2004)研究发现下调策略的反应时显著短于上调策略，下调策略的正确率高于上调策略。本研究的结果显示执行上调策略的时间更长，这与已有研究结果一致。除了上述策略本身特点的原因，还可能是因为在无选/上调条件中需抑制简单策略的执行，所以执行上调策略较慢。但本研究中两种策略在准确率上并无差异，这可能是因为中国被试对这两种策略已经熟悉并掌握，因此均能正确地加以运用。不过本研究发现成人和儿童在策略运用上存在一些明显区别。具体来说，在策略使用频率方面，成人比儿童更多使用上调策略；在策略执行方面，成人比儿童的反应时更短而正确率更高；儿童与成人进行策略选择的速度没有明显差异，但儿童的策略选择准确性很低。成人更能熟练准确地运用本研究中的两种策略，因此在策略执行上表现更好；在选择条件中，儿童过多使用简单的下调策略，所以其速度与成人相当，但这造成其准确性远远低于成人。总之，成人在策略运用各方面的表现都优于儿童，说明随着年龄增长，个体策略运用的灵活性和效能在逐渐提高，即便在面对估算加工这种相对新颖的算术任务时也是如此。
4.2 数学焦虑对成人和儿童估算策略运用的影响
本研究发现，数学焦虑对成人和儿童策略执行和策略分布的影响模式并不相同：在这两方面，儿童受到数学焦虑的明显制约，成人却不受数学焦虑的影响。具体来说，高焦虑儿童策略执行的正确率较低，且更少使用上调策略。但在策略选择环节上，成人和儿童却均受到数学焦虑的影响。本研究包含两个有选条件——自由选择和最佳选择，“自由选择”是在经典有选/无选法研究范式基础上新增加的条件，它允许自由选择所用的策略，对所选策略的准确性没有要求，而“最佳选择”要求所选策略得到的估算值最接近正确答案，所以设置“自由选择”有助于考察在不强调所选策略准确性的情境中，个体是如何权衡速度和所选策略的准确性的。本研究发现，自由选择条件中，低焦虑成人的正确率更高，高焦虑成人的速度与低焦虑成人相当，但前者却忽略了正确率，没有很好地权衡速度和准确性；而最佳选择条件中高低焦虑成人的正确率均较高，且无差异，即他们均做出了适应性的选择。低焦虑成人无论在何种情境下都表现出较高的正确率，说明其策略选择更具优势；高焦虑成人在要求宽松的自由选择条件中更易受焦虑的影响，但在强调速度和准确性的情境下也能有较好表现。这或许可以用新近提出的注意控制理论来解释：当任务要求不高或任务目标模糊时，高焦虑成人的动机水平低，使用注意控制机制的程度较低；而当任务要求高或任务目标明确时，高焦虑成人的动机水平高，其通过使用补偿策略来降低焦虑引起的刺激-驱动注意系统的影响，从而较好完成任务(Eysenck & Derakshan，2011)。儿童策略选择方面的表现与成人有很大不同。在自由选择条件中，高低焦虑儿童速度无差异，正确率均很低(46.16% vs. 46.00%)。最佳选择条件需兼顾速度和准确性，因此需要更多认知资源的参与，高焦虑儿童不能根据任务要求灵活选择适应的策略，仍倾向于较多使用简单的下调策略，正确率仍很低(48.42%)。这说明无论在哪种情境下，焦虑都在很大程度上影响其策略选择的准确性。低焦虑儿童在最佳选择条件中的正确率有所提高(60.66%)，说明其能够在没有明显焦虑情绪干扰情况下考虑到策略选择的准确性。此外我们还比较了高焦虑成人和高焦虑儿童的策略运用状况，发现前者使用上调策略的比例高于后者，前者策略执行的正确率及策略选择的正确率均高于后者。这可能意味着就本研究所用的算术任务而言，成人对数学焦虑这种负性情绪的调控能力要好于儿童，因此他们的策略运用较少受焦虑的影响，而儿童尤其是高焦虑儿童不能很好地抑制数学焦虑的干扰，从而导致其表现较差。
现有研究多从工作记忆资源竞争角度来解释数学焦虑对算术表现的影响。根据加工效能理论(Eysenck & Calvo，1992)，数学焦虑作为一种负性情绪，会占用部分工作记忆资源，导致认知加工效率因资源短缺而下降，在需要大量工作记忆资源的任务中焦虑的影响更明显，但在时间充分或任务简单时任务完成不会受焦虑的影响。这一观点已得到许多研究的支持(Ashcraft & Kirk，2001；王翠艳，刘昌，2007；崔吉芳，李嫩晓，陈英和，2011)。本研究发现，数学焦虑很少影响成人的策略运用。这可能是因为成人的算术认知能力已发展成熟，研究中乘法估算所涉及的加工过程对于成人来说较容易，一位数相乘的结果早已作为算术事实储存在长时记忆中，且能自动提取，算术任务需要的工作记忆资源较少。在这种情况下，即使数学焦虑起作用，高焦虑成人仍有足够的认知资源用于解题，因此成人的策略运用几乎不受焦虑的影响。这与心算的有关研究结果一致：在复杂算术任务中高数学焦虑个体表现较差，但在简单算术任务中高低焦虑个体表现无差异(Imbo，2007)。而四年级儿童正处于估算能力发展的早期阶段，数学焦虑对其策略运用的影响较明显，高焦虑儿童的表现差于低焦虑儿童。尤其是数学焦虑对策略分布和最佳选择条件的正确率两方面产生了较多影响。这是因为他们需要在两种策略之间进行选择并考虑所选策略的准确性，这会占用很多的认知资源，同时焦虑情绪也会消耗部分认知资源，所以高焦虑儿童频繁使用简单的下调策略，从而影响其做出正确选择。研究结果也证实高焦虑儿童更少选择上调策略，在最佳选择条件中其正确率更低。另一方面，我们还可以从策略转换代价的角度来解释：当选择一个新策略时，个体须抑制刚才的策略执行并且激活新的策略(Lemaire，2010)，这将占用额外的工作记忆资源，因此，高焦虑儿童为避免策略转换代价而倾向于较多使用同一种策略(本研究中为下调策略)，从而影响其策略选择的准确性。另外，在策略执行方面和最佳选择条件中，高焦虑儿童的正确率低于低焦虑儿童，但二者速度相当，说明高焦虑儿童以牺牲正确率为代价以快速完成任务，不能兼顾速度和准确性。这与心算的有关研究发现一致(Ashcraft & Faust，1994)，研究者认为这是高数学焦虑者试图尽快结束那些能引起压力的情境，以节省生理或认知成本的表现。
总之，数学焦虑对成人影响较小，而儿童在策略运用的多个方面都受数学焦虑的影响，低焦虑儿童的表现优于高焦虑儿童。随着年龄的增长、数学经验的积累及工作记忆的发展，数学焦虑的影响逐渐减小。
5 结论
本研究发现：
(1)数学焦虑仅影响成人在自由选择条件中策略选择的正确率，低焦虑组更准确。
(2)数学焦虑影响儿童的策略分布、策略执行的正确率及最佳选择条件中策略选择的正确率，低焦虑组较多使用上调策略，其正确率更高。
(3)成人和儿童策略选择的适应性均受数学焦虑的影响，低焦虑者的适应性更好。
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