大转角弹性梁中性线方程的计算机模拟研究
引言
研究背景：有一均匀的薄板状的弹性梁，不受力（包括重力）时状态为平板，左端水平地嵌入墙体内固定，设梁在墙外部分的中性线只会受力弯曲而其长度l不变。设中性线的左端点坐标为（0，0），纵坐标向下为正。梁有可能与地面（物理上光滑的水平面）接触。记中性线的右端点的纵坐标值y=h>0。图1为正视图，图中实线为梁的中性线，点划线满足y=h。设重力加速度为g>0，梁的线密度为d，梁在静态平衡时中性线满足公式：k=m/ei（k是梁的中性线的曲率，m是弯曲力矩，ei为梁的截面抗弯刚度）。
在工程实际中经常碰到的弹性梁问题，本文中对该弹性梁及环境做了近似处理，把梁看成均匀的薄板，将地面看成物理上光滑的水平面，因此我们不用考虑梁与地面接触时，接触面的变化和接触力的应力场。在工程实际中，转角一般均很小，可以建立微分方程近似模型；大转角问题，情况比较复杂，一方面梁的重心寻找困难，另一方面二阶非线性方程求解困难，可考虑用计算机模拟的方法寻找梁的中性线方程。
1计算机模拟大转角情况
当a=24，h=1/4时，不能当作小转角问题处理。首先，建立弯矩平衡的方程不能再应用。当梁发生比较大的弯曲时，梁的重心也发生了比较大的移动。因此，弯矩的建立成了一个非常棘手的问题。
同时，由于小角度假设在梁的抗弯强度较小的时候不再成立，于是必须考虑大角度情况，那么就需要求解微分方程，这是一个二阶的非线性微分方程，解析求解困难。
有限元法（fea）是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的（较简单的）近似解。
2模型的建立
2.1梁和地面不发生接触时
（1）初始化。给弹性梁一个初始状态曲线，如：y=0（x∈[0，l]）（1）模拟以初始状态为起点，进行迭代循环，不断逼近真实的曲线。
本文由论文联盟http://收集整理 （2）离散化。在梁上均匀选取n个节点ns（s=1，2，…，n），分成n-1段（单元），每段长度为l=ln-1。在模拟过程中，每个单元可以进行平动和转动来逼近真实曲线，但是每个单元的长度固定不变，且节点与节点之间连续。因为假设中，弹性梁只会受力弯曲而其长度不变。
（3）受力分析。在给定的状态下，可以求出任意一个节点ns的力矩m（s）为s以后的节点重力引起的力矩m1（s）。m（s）=m1（s）（2）
m1（s）= ∑nj=（s+1）gdln-1（xj-xs）（3）其中xj为第j个节点的横坐标。
（4）几何形状分析。已知节点ns的力矩m（s），就可以求出该点的曲率和半径：k=m（s）ei=gdlei ∑nj=（s+1）（xj-xs）n-1（4）
r=1k（5）无量纲化后：k=kl=a∑nj=（s+1）（xj-xs）n-1（6）
r=1kl=1k（7）（5）迭代过程（坐标修正）。以节点ns-1、ns为基准，修正节点ns+1的坐标，使得满足弹性梁在ns节点的曲率满足第（4）步的要求。修正如图2所示。
当节点取得足够密时，可以近似地认为ns的邻近节点ns-1，ns+1在过ns的曲线的曲率圆上，且过ns的切线可以近似用直线ns-1ns代替，进而可以求得符合静态梁状态节点ns+1的新的点n's+1。x's+1=xs+l cos（θ+β）
y's+1=ys+l sin（θ+β）（8）其中β=arctanys-ys-1xs-xs-1（9）为切线和x轴的倾角。
（6）对每个节点做第（5）步所述的修正，循环多次，使得中性线的曲线不断地逼近真实曲线。
2.2梁和地面发生点接触情形
（1）初始化与（2）离散化过程与梁不与地面发生接触时相同。
（2） 受力分析。当梁和地面发生点接触时，梁不仅受到重力，还受到地面对梁的作用力为f，任意一个节点ns的力矩m（s）可以分为两部分，一部分为s以后的节点重力引起的力矩m1（s），另一部分由地面对梁的作用力f（梁和地面不接触时为0）引起的m2（s）。m（s）=m1（s）+m2（s）（10）
m1（s）= ∑nj=（s+1）gdln-1（xj-xs）（11）
m2（s）=-f（l-xs）（12）此时曲率和半径为：k=kl=a∑nj=（s+1）（xj-xs）n-1-a（1-p）（1-xs）（13）
r=1kl=1a∑nj=（s+1）xj-xsn-1-a（1-p）（1-xs）=1k（14）（3）地面对梁的作用力的确定。在模拟过程中，地面对梁的作用力f必须满足：梁和地面接触的端点处中性线的纵坐标为梁和地面的距离值。因此，必须在模拟中实现自动寻找作用力f的能力，采用二分法的思想，自动寻找作用力f的过程如下：
（1）无量纲化。用梁与地面接触时梁对地面的压力与墙外梁重力gdl之比值来衡量作用力的大小。1-p=fgdl（15）（2）给定初始值p1=0，p2=1，在这两种情况下进行有限元模拟得到梁自由端点的纵坐标y1>h，y2<h。
（3）取p3=p1+p22，进行模拟得到梁自由端点的纵坐标y3。
（4）进行迭代p1=p3y3>h
p2=p3y3<h（16）（5）当|y3-h|<ε（ε为给定的精度要求）时，停止迭代，得到p值。
3计算机模拟的可行性
为了验证有限元模型的合理性，把有限元模型得到的中性线曲线和微分近似得到的曲线相比较。只考虑梁和地面发生点接触的情形。
（1）小角度情况下，微分近似模型是合理的，由它得到当a72<h<a8时，梁和地面只发生点接触，取a=0.1，h=a20=0.005，代入有限元模拟程序中，得到中性线的曲线如图3所示。
从图中可以看出，在小角度情况下，用有限元模拟得到中性线的曲线和微分近似模型几乎一致。
用微分近似模型得到的作用力比值为：1-p=38-3ha=0.225（17）用有限元模拟得到的作用力为：1-p=0.219（18）进一步说明微分近似曲线在小角度假设下的正确性，同时也说明有限元模拟的合理性。
大角度情况下，取a=0.1，h=a20=0.005，代入有限元模拟程序中，得到中性线的曲线如图3所示。
用微分近似模型得到的作用力比值为：1-p=38-3ha=0.225（19）用有限元模拟得到的作用力比值为：1-p=0.145（20）可以发现，由于有限元模型可以模拟任何转角下的情形，而此时微分近似模拟和有限元模拟结果相差较大，进一步验证了微分近似模型只能在小角度假设下成立。
4二分法求接触点
（1）把参数a=24，h=1/4输入到有限元模型中，模拟得到梁的纵坐标最大值为ymax=0.25=h，说明梁和地面已经发生接触。
①模拟得到的中性线曲线如图4所示。
②由中性线曲线可以求得每个节点ns（s=1，2，…，n）处的力矩m（s），再求出k（s），得到kmax=3.70 （x，y）=（0，0）
kmin=-1.28（x，y）=（0.587 5，0.223 6）（21）③模拟中自动寻找到线接触长度1-l'和p值：p=0.594 3（22）在k（s）-ns中找到k（s）=0的点及区间，即分别对应中性线的拐点及和地面发生线接触的点。求得中性线上k=0的点为（0.305，0.11）和（0.853，0.962）。
5结语
本文就弹性梁静态平衡时中性线的无量纲化的方程建立了微分近似方程模型和计算机模拟模型。微分近似模型简单易解，小转角的情况下，与真实值符合得很好。但当梁的抗弯强度比较低时，微分近似模型与真实值偏离较大。而计算模拟方法通过给定梁的初始状态，把梁分割为许多小的线段微元，并对每一个微元进行受力分析，对其进行平动、转动的坐标修正，使得每次修正后的微元体逐渐逼近真实的位置，从而得到中性线的方程。不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，在工程实际中广泛推广的可能性大。转贴于论文联盟
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