在数学领域中，这种讨论如果以一种非数学的方式进行的话，限制将更为苛刻。讨论必然会显示出某些不良的特性，得到的结果所依据的材料决不可能充分;相反，面面俱到的肤浅的讨论却不可避免。尽管我甚至意识到，我将要提出的说法有不少短处，但是很抱歉我还是得说下去。此外，我准备表述的观点，也完全可能不为许多其他数学家所赞同。你可能获得一个人为的不太系统的印象和解释。我提出的看法，对这些讨论究竟有多少价值，也许是很小的。在我看来，刻画数学特点的最有力的事实，是它和自然科学的特有联系。或者更一般地说，它和任何一类比处于纯粹描述水准更高级一些的、能对经验作出解释的科学的特有联系。大多数数学家和非数学家将会同意，数学不是一门经验科学，或者至少可以说它不是以某种来自经验科学技术的方法实现的，但是它的发展和自然科学却紧密相联。它的一个主要分支几何学，买际上起源于自然科学、经验科学。某些现代科学中最大的灵感(我认为是最大的)清楚地来源于自然科学，数学方法渗透和支配着自然科学的许多“理论”分支。在现代经验科学中，能否接受数学方法或与数学相近的物理学方法，已愈来愈成为该学科成功与否的主要标准。确实，整个自然科学一系列不可割断的相继现象的链，它们都被打上数学的标志，几乎和科学进步的理念是一致的，这也变得越来越明显了。生物学变得更受到化学和物理渗透，这些化学是实验和理论的物理，而物理是形式甚为数学化的理论物理。
有一个甚为特殊的数学性质的两重性，人们必须理解它，接受它，并且把它吸收到自己正在思考的主题中去。这种两重性是数学的本来面目，我不相信无需牺牲事物的实质，就可能简化和单一化对事物的看法。
因而我并不试图为你提供一种单一化的模式，我将尽可能地，描写数学所具有的多重现象。无可否认，在人们能想象的那部分纯粹数学中，某些最为激动人心的灵感来自自然科学，我将提及两个最值得纪念的事实。
第一个例子是几何学。几何学是古代数学中的一个主要部分，现在仍然是现代数学中几个主要分支之一。毋庸置疑，它的古代起源是经验的，它开始成为一门学科并不像当今的理论物理。离开这些迹象，就很难说“几何学”是什么了，欧氏的公理化处理是几何学脱离经验向前跨出一大步的标志，但是它全然不能简单地被看成是决定性的、绝对的、最终的一步。欧氏的公理化在某些方面并不能满足现代绝对的公理化对严格性的要求，当然这不是主要的方面。最本质的是某些无疑是经验的学科，如力学和热力学，也或多或少地常常由某些作者提出一些公理化的处理。然而所有这些都很难超出euclid的程序。我们时代的经典理论物理，newton原理，它的文字形式和最重要的实质部分都是很像euclid的。当然在所有这些例子中，提到的公设都是以支持这些定理的物理考察、实验论证作为后盾的。但是人们可以论证：在几何学获得两干多年的稳定和权威之前(这种权威是理论物理的现代结构所缺乏的)，特别从古代的观点来看，提出一种类似于euclid的解释是可能的.
尽管自euclid以来，在使几何学与经验脱离方面已经逐步地取得了进展，但是哪怕在今天，它也决没有变得十分完备。非欧几何学的讨论提供了这方面的一个好的说明。它也对数学思想的矛盾状态提供了一种说明，尽管这种讨论大部分发生在高度抽象的水平上，它所处理的是欧氏“第五公设”是否为其他公设的推论的纯粹逻辑问题;形式上的论战由klein的纯粹数学的典范作品所总结。他证明了一欧氏平面，可以通过形式地重新定义某些基本概念而成为非欧平面。这里从开始到结束，都还是由经验促进的。所有欧氏公设的原始根据显然都是对整个无穷平面的概念所作出的非经验的刻画，为什么只有第五公设会有问题呢?这种撇开所有数学的逻辑分析，坚持必须由经验来确定欧氏几何是否有意义的思想，确实是由最伟大的数学家高斯提出的，后来由bolyai，lobachevsky，riemann和klein把它变得更为抽象。然而我们今天所考察的关于最初争论的形式上结果，不管是经验的或者物理学的，都已有定论。广义相对论的发现，迫使人们对关于几何学相互关系的观点进行修正。这种修正是在全新的背景下进行的。最后，人们就能接触到一幅完成了的可供比较的图景。这最后的进展是由这样一代人完成的，他们看到了欧氏公理方法已被现代公理派逻辑数学家处理成为完全非经验的和抽象的。这两种表面上似乎是冲突的态度，完美地合并成一种数学思想;因此，hilbert在公理几何学和广义相对论方面都作出了重要的贡献。第二个例子是微积分，或者说是由它生成的数学分析。微积分是近代数学的最早的成果，对它的重要性，作任何估价都很难认为是过高的。尽管我认为它的确定比现代数学发端中的任何其他事物具有更多的歧义性，但是数学分析的系统，它的逻辑展开仍然是精确思维方面最大的技术上的进步。
微积分的起源显然是经验的，kepler尝试着做的最早的积分，被叫做“dolichometry”——小桶的量度——即量度由曲面包围起来的物体的容积。这是非公理化的，经验的几何学，而不是euclid以后的那种几何学，kepler是完全知道这些的。newton和leibniz的那些主要成果和主要发现确实起源于物理学。newton发明的“流数”运算，本质上是为了力学。事实上，这两门学科，微积分和力学，是由它们或多或少地结合在一齐而得到发展的。微积分的最初的一些陈述，数学上甚至可以是不严格的。一个不精确的半物理的陈述，是newton以后一百五十多年来仅有的一种可供使用的陈述!这一时期数学分析取得了某些最重要的进步,而这种不精确性不能适应于基础!这时期的某些主导的数学精神显然是不严格的，如euler;但是另外一些数学家，主要的如gauss和jacobi就并非如此。这种发展极为含混和模糊，它和经验的关系，确实不是按照我们(或euclid)提出的抽象的和严格的想法那样。但是并没有数学家想排斥它。那个时期确实也产生了第一流的数学。即使在本质上是由cauchy重建的严格性盛行之后，一种特殊的半物理方法在riemann那里仍然得到了复萌。riemann的科学的个性本身就是一个数学的两重性的光辉榜样，这些可以在riemann和weierstrass的争论中见到，如果我详细地列出这些，恐怕会使技术细节叙述得过分多了。自weierstrass以来，分析数学似乎变得完全抽象、严格和非经验了，其实这也不是绝对真实的。在最近两代人中发生的有关数学和逻辑的“基础”的争论，驱散了许多关于这方面的错误的幻想。
这为我带来了第三个例子，它和上述争论的判断是有关的，但是这个例子更多地是论述数学与哲学或认识的关系，而不是数学与自然科学的关系，它用一种引人注目的方式说明“绝对的”数学严格性的概念并不是不可改变的。严格性概念的可变性表明：在数学抽象之外的某些事物，作为补偿不足必须进入数学。在分析关于“基础”的争论时，我一直不能使自己确信：这种说法一定有利于外部成分的经验性质，尽管在讨论的某些言词上，对这样一种说明的支持是十分强有力的，但是我并没有把它看作是绝对地不可争议的。然而有两件事是清楚的。第一，已经引入某些非数学事物，这是本质的，不管它与经验科学或者哲学或者与两者如何联系，它的非经验的特点，仅当人们假设哲学(更为专门的认识论)能够独立于经验而存在时才能使人注意(这个假设仅是必要的而不是充分的)。第二，不顾关于“基础”的争论可能作出的最好解释，数学的经验来源是受到如我们较早提到的例子(几何学和微积分)的强有力地支持的。在分析数学严格性概念的可变性时，我希望主要强调的是上面已谈及的“基础”的论争。但是，我喜欢首先简要地考察问题的第二方面。尽管这方面也能加强我的论证，但是我把它看作第二位的，因为它的结论的终极性比“基础”论证的分析要少，我正在把这个归诸于数学“风格”的改变。大家知道，写出的数学证明的风格已经经历了相当大的起落，说起落比趋向要好一点，因为在某些方面，当代作者和18世纪或19世纪的某些作者之间的差别比当代的作者和euclid之间的差别要更为大一些。此外，另一方面，它们有着值得注意的经久不变的东西。在有些呈现了某些差别的领域，无需引进任何新的思想，它们的主要差别，就可能消除。但是在许多场合，这些差别是如此的广泛，以致使人开始怀疑：在这种分歧的道路上，差别是否能仅仅由作者的风格、试验和教育上的差别来说明呢?他们实际上在构成数学的严谨性方面是否具有同样的思想呢?最后，在极端的情况下(例如：上面所说的18世纪后期分析方面的许多工作)，差别既是本质的，如果完全只是为了有助于新的和意义深远的已经发展了一百多年的理论的话，它又是可以补救的，有些按此种不严格方式工作着的数学家(或者他们的某些对此持批评态度的同辈人)是意识到它们缺乏严格性的。或者更为客观地说：他们关于什么是数学程序的想法是愿意遵循我们提出的观点的，但他们的行动却并非如此。但是另一些人，例如：这时期的最伟大的学者euler似乎坚定地持有自己的标准，并且一直在按他自己标准行事。
但是我不想进一步强调这件事。我将回到刚才停下的关于“数学基础"的论争方面去。在19世纪末和20世纪初，抽象数学的一个新分支，g．cantor的集合论，引出了困难。即某些推理引向了矛盾;当这些推理并不处于集合论的中心的和“普适”的地位时，总比较容易根据某些形式的标准消除它，但是为什么集合论的后继部分比集合论自身更可信这是不清楚的。除了事后看到它们事实上引向灾难之外，对什么是先验的动因，什么是与之一致的哲学特征，人们如何从想要解决的集合论中去分离出它们也是不清楚的。紧接着对这种情况进行研究的主要是russell和weyl，后来由brouwer作出结论，这些研究表明：不仅集合论，而且大部分现代数学所使用的“一般有效性”和“存在性”概念，在哲学上是要引起异议的。一个较少地具有这种不可预料的特点的“数学系统”是“直觉主义”，它是由brouwer发展的。但是按这种方式，现代数学中，特别是在分析数学中，百分之五十以上的最有生机的部分或者要被“清除”掉，或者将变得无效了，或者必须补加某些更为复杂的考察来进行论证。后一过程，常常使有效性的一般性和推导的漂亮方面会有所减色。但是brouwer和weyl认为：根据这些思想去修正数学严格性的概念是必要的。
不可能过高地估计这些事情的意义。在20世纪30年代，有两位持第一种态度的数学家实际上提出了：数学的严格性概念和怎样构成一个精确证明的观念应该是可以改变的!下列的展开是值得注意的：
1．仅有很少的数学家，在他们自己日常工作中，愿意接受新的，苛刻的标准。尽管很多数学家称颂weyl和brouwer的基本想法是正确的，但是他们自身继续不受干涉地工作着，即按“老”的容易的方式搞他们自己的数学。
2．hilbert追随着下面这个天才的思想去论证“经典”的(即直觉主义以前的)数学：即使在直觉主义系统中，也可以对经典数学是如何运算的给出严格的说明。也就是说人们可以描述经典系统是如何工作的，尽管人们不能论证这种工作。因此有可能直觉主义地证明：经典的程序决不可能引向矛盾。显然这样的证明是很困难的，但是对于怎样才能达到它，有着某些启示。按这个方案进行工作，有可能提供一个在与直觉主义系统相反的基础下证明经典数学的最为值得重视的证明。至少，这个解释在大多数数学家愿意接受的数学哲学系统中将是合法的!
3. 在试图建立这个规划的大约十年之后，g6del作出了最为值得铭记的结果。这个结果，如果没有某些附加的不引起误解的说明，那是不能作绝对精确的陈述的。它的基本内容是这样的：如果一个数学系统并不引向矛盾，那么这件事实，使用该系统的程序是不可证明的。godel的证明满足数学严谨性的最严格的标准——直觉主义的标准。它对hilbert纲领的影响作用引起了某些争论，不过说理太技术化了。我现在的观点也和许多人一样，认为g6del已经证明了hilbert的纲领本质上是无用的。
4．在hilbert或brouwer意义之下论证经典数学的主要想法已经过去了。大部分数学家决定使用任意的系统。总之经典数学过去曾产生的结果既是雅致的又是有用的。即使人们不能绝对地确定它的现实性，但是把它作为基础还是稳妥的，如像电子的存在那样。因此，如果人们愿意接受科学，人们就同样能接受经典的数学系统，甚至对直觉主义的某些最初的拥护者来说，这样的观点也成为可接受了。当前关于“基础”的论争，确实不太紧凑了，但是，经典系统将被大多数人而不是少数人抛弃的想法，似乎最不受欢迎。
我对这个论争的沿革，已经作了如此详细介绍，因为我想这是最谨慎的对数学的严格性是不可改变的说法的异议。这发生在我们自身的时代，我惭愧地知道自己关于绝对的数学真理性看法，在这一时期是怎样容易地改变的，并且是怎样相继地改变了三次的。
我希望上述占了我文章一半篇幅的三个例子已足以说明许多最好的灵感来自于经验。很难相信，存在着与人类所有经验相联的、绝对的、不可变动的数学严格性的概念。关于这个问题，我企图采取一种低姿态，不管你对哲学或认识论持何种偏爱，任何一个了解数学的人，都会实际感受到一种经验，它很少会支持这样的假设：存在一个先验的数学严格性的概念。然而，我的文章还有另外一事，现在我试图转向这部分。
对任何数学家来说，很难相信数学是一门纯粹经验科学，或者说，所有数学概念都起源于经验主体。首先让我们来考察陈述的第二部分。现代数学中有各种各样重要部分，它的经验来源是不可追溯的。或者说，如果可以追溯的话，也是如此间接，显然地自它割断它的经验根源之后，就面貌全非了。代数符号是为了数学本身的使用而发明的。当然也可以合理地断言：它加强了与经验的联系，但是，现代的抽象代数，已经愈来愈朝着与经验很少相联的方向发展。关于拓扑也可以这样讲。在所有这些领域，数学家主观上的成功标准和作用价值，是自身相容、符合美学和脱离(或几乎脱离)经验(关于这些，我将进一步叙述)。在集合论中，这更为明显，一个无穷的“幂”和“序”，可以是有限数概念的推广，但是在他们的无限形式中(特别是“幂”)，它们和这个世界很难有任何联系。如果我不想避免某些技巧，我能够用数集理论作为例子来详细地叙述这一点。“选择公理”问题，无限“幂”的“可比较性”，“连续统”问题等等，也是如此。同样的评述可以应用到实函数论和实点集论：尽管它们可以被设想成是抽象的，不可应用的学科，并且按这种精神来看，几乎总是雅致的，然后在十年之后，有的可能在一个世纪之后，却变得对物理学十分有用。它们主要地仍然是在追求象征性的、抽象的、非应用的精神。
所有这种情况，以及它们的各种组合的事例可以不断重复，但 是，我想转到我前面指出过的第一方面去：数学是一门经验科学吗?或者更精确地说，数学真的是按经验科学那样实践的吗?或者， 更一般地说：数学家和他的课题的标准关系是什么?他向往的成功标准是什么?什么影响、什么考虑在控制和指引着他的努力呢?
然后，让我们来看，数学家常规的工作方法和自然科学家工作方法的差别在哪里。这种差别的持续，显然影响了从理论学科到实验学科，继而从实验学科到描述学科之间的差别。因而让我们把数学与最相近于数学范畴的学科——理论学科作一比较。让我们在这里选取一个与数学最相近的学科——理论物理。数学和理论物理实际上有着许多共同之处。正如我前面已说过的，euclid几何系统是经典力学公理描述的原型。类似的现象是热力学的陈述，充满着如同maxwell的描述电动力学系统，以及狭义相对论的句子。此外认为理论物理不管是分类的还是综合的，都不是解释现象的态度，今天已为大多数理论物理学家所接受。这意味着，这理论成功的标准，只需看一看它是否能建立一个简单的和雅致的，分类的或综合的能概括许多现象的框架;这些现象如果没有这个框架将会显得复杂和参差不齐的，进而看它是否能概括没有考察到的或者提出框架时尚不知晓的现象(这后面两种说法代表一个理论的统一性和预见力)。现在展示在这里的标准——显然极大地扩充了美学的性质，由于这个理由，它和你将要看到的对数学来说几乎完全是美学的成功的标准是很密切相联的。因此，我们现在可以把数学和与它最相近的自然科学作比较，与我想我已说明了的和数学有许多共同之处的理论物理相比较。然而在实际的惯用的方法中差别是巨大的和基本的，理论物理的目标主要来自“外界”，大部分是由于实验物理学的需要。他们几乎总是起因于想解决某一难题，预见和协调的成功通常会跟着到来。这看来是相似的，进展(预见和协调)来自研究过程，这种研究对解决某些原先存在的难题是必然要经历的。理论物理中的一部分工作是为了探索某种障碍，这种障碍的“突破”提供了发展，如我已提及的，这些难题通常源于实验;但是有时它们却是可接受的理论本身中各部分之间的不协调之处，当然，例子也是不少的。
michelson实验导致狭义相对论，某些电离电位和光谱结构的难题导致量子力学，这些就是第一种情况的例子;狭义相对论和newton引力理论之间的冲突导致广义相对论，这是第二种情况的例子，这里从任何方面看，理论物理的问题都是客观地给定的，而作为衡量成功的标准，如我在上面所指出的，主要是美学的。但是也有一部分，我们上面提及过的具有基本的“突破”的问题，很难说它起源于客观实在。据此可见，理论物理的课题几乎各个时期都是非常集中的，一切物理学家的最重要的努力都集中在一、二个十分尖锐的领域，1920年代和1930年代初，集中在量子理论，1930年代后半期集中在基本粒子和核结构方面就是一些例子。
总的说来，数学的情况就不同了。由于在特点、风格、目标和影响方面相互之间广泛的差别，数学被分成许多分支。它显得和理论物理极为集中的情况十分相反。今天大多数物理学家仍然需要具备有关他的课题的有用知识一半以上，我怀疑，任何一个现在在世数学家会具备四分之一以上与他的课题有关的有用知识。在一个数学分支中“客观地”给出的“重要”问题可以相去甚远。数学家选这个课题，或者选其他课题，基本上是自由的，然而理论物理的一个“重要”问题常常是一种必须加以解决的一个冲突、矛盾。数学家有广泛的领域供他转换选题，他在选题方面可以有适当的自由，而对于决定选题，选题的标准和成功的标准，主要是美学的说法是正确的。我感到这个断言是会引起争论的，这是不可能“证明”的。有充分的理由可以说，这里的美学特点甚至比我们前面讨论理论物理时所提到的例子还要更为突出。人们期待一条数学定理或者理论，不仅要能用简单的和雅致的方式去描述而且还要能去划分大量的原先根本不同的各别情况。人们也期待它的构造在“美学上”的“雅致性”和在叙述问题时的自如性，如果你能自如地叙述问题，把握它和企图解决它，那么某些使人惊奇的探索过程中遇到的曲折会变得容易了等等。如果推导是冗长的或者复杂的，应该存在某些简单的一般原则，可以用来“说明”复杂性和曲折性，这些标准显然就是对任何创造性艺术所提的标准。所有这些和经验科学相比，在艺术气氛方面将更会纯粹和简单。
你将会注意到，我不曾提到数学与实验科学和技术科学之间的比较。这里，方法上的和一般气氛上的差别是太明显了。
数学概念来源于经验，尽管有时系谱是长远的曲折的，这种说法是一个适当的对真理的逼近。真理是太复杂了，以至能容纳任何事物，而不是逼近。但是一旦它们被设想出来后，这个主题开始按它自己特有的活力生长，并且在几乎完全按美学动机给出的创造物方面;它将比任何事物，特别是经验科学来得好。但是，我相信还有问题需要进一步强调，因为一门数学学科远离它的经验来源，或者说，如果仅是简接地来自“现实性”，是由现实激励生成的第二和第三代学科的话，这是一个最大的危险。它将变得愈来愈美学化，愈来愈艺术化。如果这个领域是由相关联的仍然与经验紧密相联的学科围绕着的话，或者说，如果这些学科处于受到特殊的、训练有素的人的影响之下的话，这不是坏事。但是也有一种重大的危险，学科只沿着远离根源的流一直持续展开下去，并且分割成多种没有意义的分支，学科将变成一种繁烦的资料堆积。换言之，远离经验来源，一直处于“抽象的”近亲交配之中，一门数学学科将有退化的危险。开始时，风格是古典的，当它显示出怪异时，危险就来了。要给出这样的例子是容易的，它们沿着一些特殊进展进入怪异的，以至高度奇异的状态，但是细说这些就太技术化了。
在任何事件中，不管它已达到什么样的阶段，对我来说仅有的补救是回复到源泉去：把它或多或少地重新对应到经验概念中去。我相信，这些要求过去是保持学科的生气勃勃和有效性的必要条件，今后，它同样将仍然是正确的。
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