摘 要：一级直线倒立摆是单入双出的系统，而经典控制理论PID控制法只能解决单入单出的问题，当使用PID方法控制倒立摆角度时，位移输出量不可避免地影响角度输出量的稳定。本文提出在设计好控制角度的PID控制器参数后，把位移输出作为干扰量，设计按扰动补偿的复合控制系统，采用劳斯判据确定复合校正环节PID参数，通过复合控制成功稳定一级直线倒立摆。
关键词：PID，复合控制， 倒立摆， 仿真
倒立摆系统是非线性、不稳定的快速系统，其控制方式与直立行走的机器人、飞行中的静不稳定飞行器有许多相似之处。倒立摆系统是控制理论实验的典型装置，也是控制理论研究中常用的验证对象。
一级直线倒立摆是单入双出的系统，经典控制理论如PID控制只能设计单入单出的系统，当对摆杆角度作控制时，小车位移必定是个开环量，会向一个方向运动，导致小车“撞墙”，使系统不稳定。
本文提出当考虑对角度输出控制时，可以把位移输出作为干扰量，引入PID控制器的前端，应用复合控制方法稳定倒立摆。
1.一级直线倒立摆的数学模型
在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将一级直线倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示
图1 直线一级倒立摆示意图
假设一级直线倒立摆各项参数的符号、意义与数据如表1所示，分析小车水平方向、摆杆垂直方向上所受的合力，建立力和力矩的平衡方程。
表1 直线一级倒立摆参数
设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与１（单位是弧度）相比很小，即，则可以进行近似处理：，，。用来表示被控对象的输入量——小车加速度，线性化后两个运动方程如下：
（2）
因为 ，所以上式化简为
（3）
一级直线倒立摆是一个单输入二输出的系统，系统输出量为小车的位移、摆杆的角度，输入为小车的加速度。
控制器设计和仿真
2.1 控制器设计及参数选取
当采用PID控制器控制倒立摆角度时，系统的结构图为
图2一级直线倒立摆角度输出PID控制器结构图
令：，，，加入0.05弧度的阶跃信号，可以得到角度输出仿真图如图3，位移输出仿真图如图4所示。
图3 角度输出阶跃响应
图4 位移输出阶跃响应
从图3和图4可以看出，角度超调量为35%，调节时间0.4秒。角度输出虽然角度保持稳定，但是小车位移是输入量的二次积分，向负方向运动，必然撞墙，直接导致倒立摆系统不稳定。
如果把小车位移输出当作扰动看待，则可以通过前馈补偿装置引入到系统输入端，构成按扰动补偿的复合控制系统，如图5所示。
设：，
，
，
。
图5 一级直线倒立摆复合控制结构图
则图5结构图闭环传递函数为
（3）
（4）
（5）
其中，
对于式（3，4）而言，化简后的闭环特征方程为式（5）的分子部分。
由劳斯判据，系统稳定的充要条件是：劳斯表中第一列各项为正。
由和劳斯表第一列的前三项可以确定复合校正环节的PID参数，，满足系统稳定性要求。
2.2 计算机仿真
构建如图5的系统仿真图，加入0.05弧度的阶跃信号，则位移、角度输出如图6、图7所示。
图6 数学仿真时位移响应仿真
图7 数学仿真时角度响应仿真
从上图可以看出，位移输出量经震荡后收敛于平衡点；角度输出量震荡后经过约10秒稳定于平衡点。系统的阶跃输入和位移输出（x）都当成了系统的干扰，在加入阶跃信号一段时间后，小车和摆杆都回复到初始位置。此时一级直线倒立摆系统是一个典型的恒指系统，满足系统稳定性的要求。
4.结论
采用经典控制理论设计单输入双输出系统时，可以把一个输出量当作干扰信号引入输入端，采用复合控制方法稳定系统。在加入阶跃激励信号后，由于位移、角度都回复到初始位置，因此该控制系统是一个典型的恒值系统，具有较强的鲁棒性。
由于PID控制器和PID复合控制器是分步设计出来的，设计PID控制器的时候并没有考虑到该参数对复合控制器性能的影响；而且劳斯判据也仅仅是得到闭环系统稳定的参数范围，并不能得到性能指标。因此上述原因直接影响了复合控制系统的性能，如调节时间太长，振荡次数太多等，如何综合考虑并设计出性能优异的复合控制系统仍然是一个值得深入思考的问题。
参考文献：
[1] 胡寿松. 自动控制原理（第三版）[M]. 北京：国防工业出版社，1994.
[2] 孙大卫，张国良，陈励华. 基于根轨迹的直流伺服电动机PID控制器参数确定法. 实验技术与管理，2009年4月
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