随着社会经济的发展和人类水事活动的增加，人们在获得最大经济效益的同时，对其所承受的风险及其后果日益关注起来。水利工程项目技术复杂，工程艰巨，工期长，投资大，在建设和管理过程中不可避免地受到许多不确定因素的影响，如发电效益不仅与河流的径流特性而且与发配电系统的故障特性、供需特性等因素有关；同样，防洪效益的大小与洪水频率、防护区内经济发展水平、财产增长率等因素有关。所有这些随机因素均可使工程项目的经济效果与预期值产生误差，即存在着经济效益风险。
在进行经济风险分析时，所采用的方法将直接影响风险分析的结论。不少学者在这方面进行过探讨，如李国芳和覃爱基采用频率分析方法，得出一些有益的结论。近年来，随着矩分析方法和熵理论的日臻完善，可将信息熵、概率论和风险估计结合起来，建立最大熵风险估计模型本文在以上研究的基础上，采用层次分析方法，将水利工程经济效益系统划分为防洪、发电、灌溉(供水)效益子系统，辩识出风险因子，通过两种风险组合方式，得到系统经济效益的风险特性。
1风险分析的最大熵模型
风险分析的依据是风险变量的概率特性，进行概率分析时一般根据所获得的一些先验信息设定先验分布。以前用于设定先验分布的许多方法，都依赖于决策者的个性,即决策者的主观意念。而最大熵准则是一种有一定意义的客观准则，由它设定的先验分布是惟一能够作出的无偏的假设。
最大熵准则出自最大熵原理。1957年Jaynes在统计力学中提出最大熵原理:“最少为偏见的概率分布是这样一种分布，它使熵在已知信息的附加约束条件下最大化”。最大熵方法的基础是信息熵，此熵定义为信息的均值，它是对整个范围内随机变量不确定性的量度。信息论中信息量的出发点是把获得的信息作为消除不确定性的测度，而不确定性可用概率分布函数描述，这就将信息熵和概率论方法相联系；又因风险估计实质上就是求风险因素的概率分布，因而可将信息熵、风险估计和概率论方法有机地联系起来，建立最大熵风险估计模型：先验信息（已知数据)构成求极值问题的约束条件，由最大熵准则得到随机变量的概率分布。
设水利工程经济效益的风险指标为随机变量x(假定为连续型变量）则
其中式中R为随机变量所在的集合；m为随机变量x的矩的阶数，一般事先未知，需要在计算中根据具体问题确定;n为影响随机变量x的风险因子数;b是保证变量有意义的量;M_为x的第i阶原点矩观测值，即样本的第i阶原点矩;/(x)为x的密度函数，正是模型所要求解的，模型的约束条件为m+2个。式(2)是/(x)满足概率密度函数的约束；式(4)是已知信息对/(x)的约束(总体矩与样本矩相等）式(5)为随机变量工与各风险因子的关系表达式，需要分析者根据具体问题建立相应表达式。该模型表示在满足已知信息约束下，以熵最大为准则求得风险指标的概率分布密度函数。
2模型的求解
模型的求解是一个泛函条件极值问题。为了求得/(x)的表达式，可根据变分法引入拉格朗日乘子入0+1,入1，入2，…，令
于是问题就转化为：要使S<这个泛函达到极值。由变分法，相应的尤拉方程为
这就是最大熵概率密度函数的解析形式，只要确定其中的参数V，V2,…，4就可以完全确定/(x)这些参数的确定可利用约束条件式(2)和式(3)，稍作数学推导，便可得到求解4，入1，4，…4应满足的联立方程组为；为从式(10)中求出各h的数值解解可将它改写成
求式（11)残差Ri平方和的最小值minR2就可得到各个h的近似解。这是一个非线性优化问题，当IR,_I<e(e为规定的允许误差）时，即认为式（11)收敛。
3应用实例
依照风险树的分析思路，对某水利枢纽的发电、防洪和灌溉3个部门进行了具体分析，得出其各自的风险因子噇1)然后，再对其进行分级处理以减少计算工作量。这里将影响大和概率高的风险因子定为高级，次之为中级，再次之为低级。进行风险分析时，一般只对高级风险因素加以分析和数量化。本文针对该枢纽的实际情况，直接采用有关部门提供的有关参数，选定对其经济效益影响较大的几个风险因子(表2)作为基本因素。再根据这些风险因子的物理意义，建立风险指标与各风险因子的关系表达式。考虑两种思路：一是直接对风险因子进行组合，二是通过子系统对风险因子进行组合。
21直接对风险因子进行组合
综合前面辩识出的风险因子(表1)，选取其中的高级风险因子作为总经济效益风险分析的基本变量，依据其物理意义及经济计算关系，建立总效益经济净现值rzp与风险因子的表达式（基准点在计算期初)为
式中n为经济计算期；i为社会折现率；?1为水电的价格；《2为调峰效益系数，《2=Wtfn调峰电量Wtf可据运行资料统计得到，每千瓦时煤耗节约量n值可由专门试验测定；仏为特大洪水发生时引起的额外损失值，它淹没面积数和城镇淹没人口数，可据经济计算期内洪水淹没情况统计得到；Y为灌溉效益系数，由已知资料确定；x3为工程年费用的影响，符号X1、X2、y1、y2、y3、y4、y5、z1意义如表1所示。对于一般工程，若特大洪水影响不明显、泥沙淤积不严重时，防洪经济效益只取农田损失、城镇损失和年增长率即可。
3.2通过子系统对风险因子进行组合
该综合利用水利枢纽具有防洪、发电和灌溉效益，按风险树的思路，先对各子效益系统的风险因子进行组合，再通过子效益系统的风险组合，得到总效益的概率特性。总效益的经济净现值的表达式为式中i为社会折现率；n为经济计算期；S1、S2、S3分别为发电、防洪和灌溉经济效益通过最大熵风险分析模型求解得到的多年平均值(期望值)，S4为系统年费用。
将式（12)、式(13)分别代入式(5)，并将表2数据代入上述最大熵模型，求解得到总效益经济净现值的最大熵概率密度函数分别为
根据这两个概率密度函数，可绘制其概率密度曲线和累积概率分布曲线（图1、图2)。
从图1可以看出：直接组合方式时的经济净现值均值为28.284亿元，风险度为0.213，净现值小于零的概率为0.01从图2也可看到:风险组合方式时的经济净现值均值为28.282亿元，风险度为0.217，净现值小于零的概率为0.008%。两种组合方法所求得的指标基本一致，说明这两种方法对该实例都是可行的。计算结果表明:某水利枢纽总经济效益指标的风险性较小，经济性能比较可靠。
4结语
本文根据最大熵准则建立了经济效益最大熵风险分析模型，由此得到风险指标的最大熵密度函数是具体的数学表达式，就为进一步对风险指标的深入分析及风险决策研究奠定了良好的基础，这也是其它风险估计方法1~3]所不可比拟的。风险指标与各风险因子的关系式(模型中的式(5))在很大程度上决定了最大熵密度函数的精度与有效性，因此，应用最大熵模型对水利工程进行风险分析时，重点要研究风险因子的作用机理，确定出风险指标与各风险因子的具体关系表达式。本文所建立的模型，采用某水利枢纽已运行30年的实际资料，得出经济效益净现值指标的风险特性，进一步验证了本文风险分析最大熵模型的有效性和实用性。
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