数学美学蕴含的数学思想(关于数学美的探讨)

中学数学美学探究

新数学课程理念下的数论文联盟http://学教学既要重视数学知识的传授,又要关注数学中的美学属性,使学生在了解和感受数学美的同时,培养起对数学的良好情感和提高对数学的直觉能力和创造思维能力。
　　
　　一、直观美
　　
　　事实上,数学美不是抽象得难以捉摸的东西,其中的数学图形、符号、公式、结构关系等美学形体可以通过我们的感官直接感知。同时,数学之美重在过程之美。张奠宙教授认为“数学美,乃探究之美,对于每个学过数学的人来说,都是深有感触的,一道数学题目的解决,一个定理的发现,一个猜想的证明,是多么令人激动与陶醉啊!于枯燥之中见新奇,于迷茫之中得豁朗,这就是数学美的直观魅力所在。”比如,“七巧板”是我国一种传统的智力拼图游戏,被西方称为“东方魔板”。它是由七块几何图形组成的,这七块可以拼成一个大正方形,用它以各种不同的巧妙方法可以拼成千变万化的形象图案,如较复杂的几何图形、建筑物、风景、人物,汉字等。儿童玩七巧板的过程,既是益智活动过程,又是数学对象的审美过程和美的创造过程,且很容易在此游戏过程中获得数学美感。正是由于数学过程美的这种直观性,所以连小孩都愿意亲近乐学。
　　
　　二、简洁美
　　
　　简洁而简单、对称、和谐是数学美的基本内容之一,透过简洁的表达形式纵观全体,看清复杂的内在关系,从而掌握这个体系,这无疑能够激起情感的美的享受,并建立学习、研究的信心。
　　首先,数学的结果是简单的。如:千古绝唱的勾股定理α2+ b2 =c2,这一简单而整齐的形式却表达了一切直角三角形边长之间的关系;而且它与面积公式的结合是一种和谐的完美的结合。
　　其次,由对称而简单。当人们认识、理解与研究对象时,其结构对称而可以简单地把握。形体的对称性,在自然界中处处可见。如树叶以其主叶脉为对称轴;花瓣的分布各向均匀;蜂巢、蛛网呈正多边形;人体也是左右对称的,反映到数学上就是中心对称、轴对称、镜面对称等,对称是数学的基本结构之一。如二项式展开的系数具有对称性;三角形中的恒等式、不等式也具有对称性。对称性还表现为某种相应性。例如,加与减、乘与除、正弦与余弦、指数与对数、有限与无限、微积与积分等等都是如此。再如,在一定条件下,有一个关于极大值的命题,就相应地有一个关于极小值的命题。“如果三角形的周长一定,则当这个三角形是正三角形时面积最大”与“如果三角形的面积一定,则当这个三角形是正三角形时周长最小”就是相应的命题。数学解题中,对称性的体现常常关系到解题过程的繁简。数学家们常常把数学成果或方法的简洁美作为追求的目标,为之不遗余力地工作,这样也就推动了数学的发展。例如,自欧氏几何《原本》问世后的两千年间,各国数学家都对他的第五公理的叙述方法繁琐、与其他公理相比总有些不自然而感到不满,在两千年内一直在寻找用更为简洁自明的命题来代替它。而多次的失败,把人们引向了另一个方面,创造出了非欧几何。可以说非欧几何的创立是从追求第五公设简洁自明开始的,实际上也可以认为是由对称的相应性所引导的(有交点,就应该有无交点的状况)。事实上,近现代的数学理论的公理化建构,也都遵循了简洁性原则。
　　
　　三、统一美
　　
　　数学美的统一性,是指数学中部分与部分、部分与整体之间的和谐一致。数与形体是数学研究的两个独立的对象,对它们的研究,分别构成了代数与几何。然而通过坐标系的建立,使点与数建立了对应,从而把代数研究的对象与几何研究的对象用方程与曲线联系在一起,实现了统一。从数学发展的规律来看,数学的发展将日益证明数学的统一性。为使庞大的数学体系变得简单而精确,数学家们经常依据数学各领域的共性,