0 引 言
压电陶瓷是一种可实现机械能与电能互相转换的功能材料，具有结构简单、体积小、重量轻、分辨率高等优点，作为微操作器驱动中的主流材料，已被广泛应用于航空、航天飞行器的精密制导、激光陀螺、自适应光学、精密机械加工、自动控制、半导体集成、生物医学工程等技术领域[1?4]。压电陶瓷驱动器的控制通常采用PI或PID控制器[5]。文献[6]针对含有压电智能结构的柔性机械臂，提出了基于模糊PID融合控制理论的柔性机械臂振动主动控制方法，搭建了悬臂梁和平面1R、2R柔性机械臂实验装置，并设计了相应的控制系统，通过实验实现了柔性机械臂振动的主动控制。采用Preisach控制模型是压电陶瓷控制的有效方法之一，但是采样数据的不稳定性仍然会对控制过程带来较大的影响和误差。为进一步提高在实现过程中的定位控制精度及稳定性，文献[7]将积分分离PID控制应用于压电陶瓷定位过程，达到了预期的控制精度和效果。但由于PI或PID控制器的控制参数需要进行反复调试才能确定，因此控制器的设计是一项耗时的工作。为缩短控制参数的调试时间，了解压电陶瓷驱动器的工作特性，特别是研究驱动电压对驱动器运行的影响十分必要[8]。
文献[9]针对一种新型的可直线运动的压电陶瓷驱动器，通过实验对其性能进行了测试，给出了驱动电压及其频率与驱动器速度的关系曲线。由于曲线都是通过将离散的实验数据点连接起来得到的，因此忽略了相邻两个数据点之间频率与驱动器速度的真实关系以及不连续点的存在性。其次，由于实验数据必然存在的误差，文献[9]只是根据显然不在同一直线上的三个数据点连成的折线，断言驱动电压与驱动器速度基本成线性关系，而未对驱动电压与驱动器速度成线性关系给出确定的结论。为给出精确的频率与驱动器速度关系曲线，并确定驱动电压与驱动器速度的关系，本文将从压电陶瓷的应力应变关系出发，导出压电驱动器位移的微分方程，由此获得驱动电压及其频率与驱动器速度关系的解析表达式，并根据这些表达式研究压电驱动器电压及其频率对驱动速度的影响。
1 压电片位移的数学模型
压电片的坐标如图1所示，电压或电场沿[y]轴方向穿过其表面后，在[x]轴方向产生应变和应力，驱动前面的载荷直线运动。应力应变关系为[9]：
[σc=Ecεc-d31Vtc]
其中[σc]是压电片产生的应力，[Ec]是压电片的弹性模量；[εc]是压电片的应变；[d31]是与施加在压电片上的电场相关的压电常数；[V]是沿[y]轴方向施加的电压；[tc]为压电片的厚度 （沿[y]轴方向）。
图1 压电陶瓷的坐标
若定义[V=0]时压电片前面的位置为坐标原点，则压电片的应变[εc]可以表示为[εc=xL，]其中[L]为压电片沿[x]轴方向的长度。压电片的应力[σc]用于使载荷产生加速度，因此[σc=md2xdt2，]其中[m]为载荷质量与压电片垂直于[x]轴方向一面的面积的比值。于是应力应变关系可以表示为：
[md2xdt2+EcLx=Ecd31Vtc]
或
[md2xdt2+nx=pV] （1）
式中：[n=EcL]，[p=Ecd31tc]。
2 电压与速度的关系
微分方程（1）相应的齐次方程的通解为：
[x=c1sin（λt）+c2cos（λt）]
式中：[λ=nm。]利用常数变易法，设微分方程（1）的通解为：
[x=c1（t）sin（λt）+c2（t）cos（λt）]
其中[c1（t），c2（t）]是满足方程组：
[c′1（t）sin（λt）+c′2（t）cos（λt）=0c′1（t）cos（λt）-c′2（t）sin（λt）=pλmV]
的待定函数。解上述方程组得：
[c′1（t）=pλmVcos（λt）c′2（t）=-pλmVsin（λt）]
因此：
[c1（t）=pλm0tVcos（λt）dt+c1c2（t）=-pλm0tVsin（λt）dt+c2]
[x=c1sin（λt）+c2cos（λt）+pλmsin（λt）0tVcos（λt）dt-pλmcos（λt）0tVsin（λt）dt=c1sin（λt）+c2cos（λt）+pλm0tVsin[λ（t-t）]dt]
[x=c1λcos（λt）-c2λsin（λt）+pm0tVcos[λ（t-t）]dt]
利用初始条件[x（0）=0，][x（0）=0]得[c1=c2=0]，因此：
[x=pλm0tVsin[λ（t-t）]dt]
令[V=Asin （ωt），]其中[A]为电压幅值，[ω]为电压的频率，则：
[x=pλm0tAsin（ωt）sin[λ（t-t）]dt=pA2λm0t[cos（（ω+λ）t-λt）-cos（（ω-λ）t+λt）]dt]（2）
当[ω≠λ]时，由式（2）得：
[x=pA2λmsin（ωt）+sin（λt）ω+λ-sin（ωt）-sin（λt）ω-λ=pAλmωsin（λt）-λsin（ωt）ω2-λ2]
当[ω=λ]时，由式（2）得：
[x=pA2λm0t[cos（2λt-λt）-cos（λt）]dt=pA2λmsin（λt）+sin（λt）2λ-tcos（λt） =pA2λ2msin（λt）-pA2λmtcos（λt）]
因此：
[x=pAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt）），ω≠λpA2mtsin（λt），ω=λ] （3）
由于：
[limω→λpAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt））=pAωtsin（ωt）2mω=pAtsin（ωt）2m]
因此等式（3）给出的压电陶瓷速度[x]在[ω=λ]处为可去不连续点，采用等式（3）的定义之后在区间[（0，+∞）]内是连续的，而且，对于任何确定的时间[t]和频率[ω（2π），]它与输入电压的幅值成线性关系。
3 频率与速度的关系
对于任何确定的时间[t，]由于式（3）给出的曲线是一条连续曲线，因此在曲线：
[x=pAωm（ω2-λ2）（cos（λt）-cos（ωt））]
上找出有限个[ω≠λ]的点，只要这些点足够稠密，连接这些点的曲线就可以反映频率与速度的关系。
以边长为[L=]0.1 m的正方体压电陶瓷为例，设
[Ec=6.6×1010][Nm2，][d31=24.5×10-12][mV，][tc=0.1]m，[A=10，]并设载荷重量为1 kg，则可以求得：
[m=100，][n=EcL=66×1010，][p=Ecd31L=16.17，][λ=nm]=81 240。
固定[t=1，]频率与驱动器速度的关系曲线如图2所示。
图2 频率与驱动器速度的关系
曲线达到峰值的频率为：
[λt（2π）=12 936 Hz]
对于不同的时间[t，]曲线达到峰值的频率将发生改变。随着时间[t]的增大，曲线的波动频率[t（2π）]也将增大。
4 结 论
综上所述，对于任何固定的时间[t]，压电驱动器的速度与输入电压的幅值成线性关系；频率与驱动器速度的关系是一条幅值不断变化的连续余弦曲线，曲线的峰值在[λt（2π）]处达到，余弦曲线的频率为[t（2π）。]随着时间[t]的增大，曲线的峰点逐步远离纵坐标轴，余弦曲线的频率也将增大。
由图2可以看出，电压频率与驱动器速度的关系是比较复杂的，通过一些实验数据点根本无法找到曲线的极值点，特别是随着时间[t]的增加余弦曲线的频率也逐步增大，在同样的频率区间内极值点也逐步增加。借助应力应变关系导出的解析式，可以准确地反映驱动器速度随频率的变化过程，克服实验数据测量干扰对实验结论的影响。通过实验数据对应力应变关系式中的参数进行辨识，再利用经参数辨识后的应力应变关系式研究压电驱动器电压及其频率对驱动速度的影响是一个需要进一步研究的问题
参考文献
[1] BERMEJO R， DELUCA M. Mechanical characterization of PZT ceramics for multilayer piezoelectric actuators [J]. Journal of Ceramic Science and Technology， 2012， 3（4）： 159?168.
[2] DICK A J. Characterizing effective d31 values for PZT from the nonlinear oscillations of clamped?clamped micro?resonators [J]. Journal of Mechanical Engineering， 2013， 59（1）： 50?55.
[3] SUN D， MILLS J K， SHAN J J， et al. A PZT actuator control of a single?link flexible manipulator based on linear velocity feedback and actuator placement [J]. Mechatronics， 2004， 14（4）： 381?401.
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