摘要：概率论与数理统计是高等院校教育教学中一门非常重要的课程，其中蕴含着丰富的思政元素。本文列举了“概率论与数理统计”教学中的四个思政案例，使学生在学习专业知识的同时潜移默化地接受了爱国主义、集体主义，诚信教育等正面价值观的引导，达到立德树人的目的。
关键词：课程思政；概率论与数理统计；教学案例
２０１６年１２月，习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上强调“要把立德树人作为中心环节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程，实现全程育人、全方位育人”。习近平总书记的讲话为高等学校教育教学工作指明了方向，即各门课程都要依据自身的教学内容，结合课程性质和特点，深入挖掘课程中的思政元素，在各类课程教学中都要融入思政教育，促进专业课和思政课同向同行，进而实现价值引领，知识传授和能力培养的有机统一。概率论与数理统计是理工类和经管类学生低年级开设的一门公共基础必修课，为学生学习后续专业课程和进一步学习奠定了数学基础，在高校人才培养体系中起到非常重要的作用。就我校而言，每年选课学生逾２０００人，涉及面广，学生主要是大学二年级，正是接受高等教育拔节孕穗的阶段，是世界观、人生观、价值观形成的重要时期，在理论教学中渗透德育教育，通过价值引领，充分发挥课堂这一主渠道进行思政教育是非常必要的。概率论与数理统计是一门研究随机现象统计规律的学科，包含概率论与数理统计两个部分，有着悠久的历史和丰富的文化资源，并且由于随机现象的普遍性，使得这门课比数学类其它课程更便于开展思政教育，这也使得概率论与数理统计进行课程思政具有可行性。
１开学第一课
开学第一课是师生的第一次见面，也是进行思政教育的良好契机。第一次课上，一般都会提到这门课的起源，发展以及对这门课有突出贡献的数学家。概率论起源于赌博的相关机会游戏，随着１８－１９世纪科学的发展，人们注意到其它一些自然学科和社会现象也与机会游戏有关，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域，大大推动了概率论的发展。通过概率论的起源与发展，鼓励学生多观察、勤思考，注重创新性思维的训练，将所学的理论与实际问题相结合，培养学生分析问题和解决实际问题的能力。许宝騄教授（１９１０－１９７０）是我国最早在概率论与数理统计方面达到世界先进水平的杰出数学家。１９１０年出生于北京，１９２８年考入燕京大学理学院，由于对数学的浓厚兴趣，１９２９年转入清华大学攻读数学，１９３６年赴英国伦敦大学留学，在统计系学习数理统计攻读博士学位，１９３８－１９４０年分别获得哲学博士和科学博士学位。抗日战争爆发后，他决定回到战火纷飞的祖国，为国效劳，终于在１９４０年回到昆明，执教于西南联合大学。１９４５－１９４７年，许先生应邀到美国加州大学等名校任教，１９４７年，他不顾美国大学的多方挽留，毅然回到祖国，之后一直在北京大学任教，为国家培养新一代数理工作者做出了突出的贡献。通过对他研究成果和生平事迹的介绍，学习数学家爱国的赤子之心，增强学生的爱国主义情怀，培养学生的爱国情操。
２贝叶斯公式进行诚信教育案例
贝叶斯公式是由英国数学家ＴＨＯＭＡＳＢＡＹＥＳ在１７３６年提出，是贝叶斯统计学中一个非常重要的工具，也是概率论与数理统计教学中的一个重难点内容。假设在最初小孩没有骗人时，人们对小孩的信任为０．８，可信的孩子说谎的概率为０．１，不可信的孩子说谎的概率为０．６，试分析人们对小孩的信任度。事件Ａ表示“小孩说谎”，事件Ｂ表示“人们对小孩的信任”，则Ｐ（Ｂ）＝０．８，Ｐ（Ｂ－）＝０．２，可信的孩子说谎的概率为Ｐ（ＡＢ）＝０．１，不可信的孩子说谎的概率为Ｐ（ＡＢ－）＝０．６，代入公式可知小孩第一次说谎后他的诚信度为Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝０．４．这时人们对他的信任已经降到了０．４。如果这时小孩在第二次无故撒谎，那么计算他的诚信度时，人们对他的信任Ｐ（Ｂ）＝０．４，Ｐ（Ｂ－）＝０．６，再次代入贝叶斯公式得Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝０．１．此时他的诚信度已降为只有０．１，可见人们对他的信任已经所剩无几了。当村民第三次听到他的呼叫时以为又是在说谎，所以没有上山，最终害了他自己。通过这个例子告诫学生诚信教育的重要性，诚实守信是中华民族的传统美德，是我们每个人的立身之本，我们只有养成说老实话、办老实事、做老实人的行为品质，诚信对待周围人，才能更好地适应社会生活，实现自己的人生价值。
３伯努利模型进行辩证唯物主义思想及坚持不懈品质培养的教育案例
假设检验的基本思想是小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，但是当试验次数无限增多时，小概率事件又会转化为几乎是必然事件，其中蕴含着从量变到质变的哲学思想，借此可以引导学生用辩证唯物主义思想看待问题。若试验Ｅ只有两个可能结果：Ａ，Ａ，则称Ｅ为一个伯努利试验，把一个试验独立重复进行ｎ次得到一个ｎ重伯努利试验。假设在ｎ重伯努利实验中，每次事件Ａ发生的概率ｐ（Ａ）＝ｐ（０＜ｐ＜１）保持不变，则事件Ａ不发生的概率Ｐ（Ａ）＝１－ｐ。事件Ａ在第ｋ次发生记为Ａｋ，则ｎ次试验中事件Ａ至少发生一次的概率为Ｐ＝１－（１－ｐ）ｎ→１（ｎ→!）。因此，无论ｐ怎样小，只要不断重复地试验，事件Ａ总会发生。谚语“常在河边走，哪有不湿鞋”就是这个道理。教师可以借此提醒同学们“勿以恶小而为之”，不要以为坏事小就可以去做它，要做到防微杜渐，牢记“千里之堤，溃于蚁穴”。同样的道理提醒同学们“务以善小而不为”，不要因为好事影响小就不去做，小事是大事的基础，大事是小事的累积。古人的名言警句：聚沙成塔，纳川成海等都是这个道理。我们只有从小事做起，从生活中的点滴做起，一次关灯，一次让座，一个微笑……这些都是日常生活中非常平凡的小事，但只要能持之以恒地去做，必然会得到社会的尊重和人们的赞扬。另外借此勉励同学们养成良好的行为习惯，无论是在生活中还是学习上，都要有恒心，有毅力，才能战胜前进道路上的荆棘坎坷。
４二项式———泊松分布中挖掘团队精神教育的案例
泊松分布是１８３７年由法国数学家泊松（ＰＯＩＳ－ＳＯＮ）首次提出的。若随机变量Ｘ的分布列为Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝λｋｋ！ｅ－λ，ｋ＝０，１，２…，其中参数λ＞０是常数，则称Ｘ服从参数为λ的泊松分布。若随机变量Ｘ的分布列为Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｋｎｐｋ（１－ｐ）ｎ－ｋ，ｋ＝０，１，２…，０＜ｐ＜１，则称随机变量Ｘ服从参数为ｎ，ｐ的二项分布。当ｎ?２０，ｐ"０．０５，可以利用泊松分布近似代替二项分布以达到简化运算的目的。教学时可以在讲完知识点后给出这个与生活紧密联系的例子。某纺织厂有８０台纺织机，每台机器是否工作相互独立，若每台机器出故障的概率均为０．０１，现有两种方案配备维修人员，方案一：配备４名维修工，每人分别负责２０台机器；方案二：配备３名维修工，３人一起负责８０台机器，试比较两种方案下机器发生故障时需要等待的概率，以便做出决策。用Ｘ表示同一时间机器发生故障的台数，则第一种方案Ｘ～Ｂ（２０，０．０１），第一种方案下，每个人负责的２０台机器中如果超过１台发生故障就需要等待，利用泊松分布近似代替二项分布，可得机器发生故障时需要等待的概率为０．０１７５。第二种方案Ｘ～Ｂ（８０，０．０１），这种方案３个人一起负责８０台机器，则８０台机器中超过３台发生故障就需要等待，利用泊松分布近似代替二项分布，则机器发生故障需要等待的概率为Ｐ（Ｘ＞３）≈０．００９１。可见第二种方案下，虽然配备的人员少，但由于团结协作，发生故障后需要等待的概率反倒低一些。教师可以借此引导同学们加强团队精神的学习，真正体会到团队力量的强大。俗话说“一根筷子容易断，一把筷子难折断”“众人划桨大浪高”等都是这个道理。一滴水在阳光下很快就会被晒干，只有汇入江河湖海才能得到无限的循环。同样，个人的力量是有限的，只有个人投入到集体团队中，通过高效沟通、良好协作，才能激发出无限力量，实现自身价值。
５结语
概率论与数理统计是一门重要的公共基础必修课，如何进行思政教育，实现课程思政和思政课程同向同行，是一个重要的研究课题。在教学设计中通过融入思政案例，一方面实现了“春风化雨，润物无声”的教学效果，学生在学习过程中潜移默化地接受了爱国主义、集体主义，诚信教育等正面价值观的引导，达到了立德树人的成效；另一方面，又可以激发学生的学习兴趣，培养学生分析问题和解决实际问题的能力，进而实现价值引领和知识传授的有机统一。
参考文献
［１］陈晓坤，宋朝红．基于三全育人理念的大学数学课程思政教学改革实践与思考———以《概率论与数理统计》课程为例［Ｊ］．湖北经济学院学报，２０１９，１７（９）：１４８－１５０．
［２］刘冰楠．西南联大数学名师许宝騄的数学贡献［Ｊ］．数学通报，２０１９，５８（１１）：９－１３．
［３］杨建奇，胡学平．概率论与数理统计［Ｍ］．上海：上海交通大学出版社，２０１５．
［４］丁黎明，赵冬．概率论与数理统计教学践行课程思政理念的思考［Ｊ］．南通职业大学学报，２０２０，３４（１）：４２－４５．
作者：华义平 周恺 单位：池州学院大数据与人工智能学院
